Fungsi Konstan

Fungsi Konstan

Fungsi Konstan
Fungsi yang berbentuk dengan suatu konstanta disebut fungsi konstan. Grafiknya berupa sebuah garis mendatar.


Fungsi Identitas
Fungsi yang berbentuk  , disebut fungsi identitas.


Fungsi Polinomial
Fungsi polinomial dinyatakan sebagai dengan bilangan bulat taknegatif, dan adalah konstanta bilangan nyata (real) dan disebut koefisien polinomial. Jika maka disebut derajat dari fungsi polinomial. Pada umumnya daerah asal dan wilayah fungsi polinomial adalah: dan dengan



Fungsi Rasional
Fungsi Berkas:B1.pngdisebut fungsi rasional bila dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua fungsi polinomial, yaitu dengan dan fungsi-fungsi polinomial. Daerah dan wilayah fungsi rasional adalah
sehingga
untuk


Fungsi Akar Kuadrat
Suatu fungsi disebut sebagai fungsi akar kuadrat bila memiliki bentuk Secara umum Daerah dan wilayah fungsi akar kuadrat adalah:
dan


Fungsi Nilai Mutlak
Fungsi nilai mutlak dinyatakan sebagai : dengan dengan Secara umum :



Operasi pada Fungsi
Misalkan fungsi dan berturut-turut didefinisikan pada daerah dan dan suatu konstanta. Maka : dan merupakan fungsi yang didefinisikan sebagai :
dengan
dengan
dengan
dengan dan
Fungsi Komposisi
Misalkan fungsi dan berturut-turut didefinsikan pada dan Fungsi komposisi didefinisikan sebagai dengan dan

Baca Selengkapnya - Fungsi Konstan

teorema sisa

   


   

Sisa :


   


   


   


   

S2 (x – a) + S1


   


   


   

→ S1
   



b
   


   


   


   

Sisa :


   


   


   


   

S3 (x – a) (x – b) + S2 (x – a) + S1


   


   


   

→ S2
   



a
   


   


   


   

Sisa :


   


   


   


   

S3 (x – a) (x – b) + S2 (x – a) + S1


   


   


   

→ S1
   


b
   


   


   


   



   


   


   


   



   


   


   

→ S2
   


c
   


   


   


   



   


   


   


   



   


   


   

→ S3
   



Ø  Teorema sisa dan faktor

Jika suku banyak f (x) berderajat dan dibagi (x – k) maka sisa s = f (k).

Contoh :

Suku banyak f (x) dibagi (x – 2) sisanya 8, jika dibagi (x + 3) sisanya 7, berapa sisa f (k) bila dibagi x2 + x – 6 ?

Jawab :

Yang dibagi     =   pembagi . hasil bagi + sisa

f (x)                  =   (x – 2) . H (x) + 8

f (x)                  =   8

f (x)                  =   (x + 3) . H (x) + (-7)

f (-3)                =   -7

f (x)                  =   (x2 + x – 6) . H (x) + (ax + b)

f (x)                  =   (x + 3) (x – 2) . H (x) + (ax + b)

f (-3)                =   a (-3) + b      →    -3 a + b  =   -7

f (-2)                =   a . 2   + b      →    2  a + b  =    8  -

                                                          - 5 a       =   -15

                                                          a             =   3

                                                          b            =   2


Ø  Memfaktorkan suku banyak

Langkah-langkah :

   1. Jika jumlah koefisien-koefisien suku banyak termasuk konstanta adalah 0, maka 1 merupakan akar/penyelesaian dari suku banyak tersebut.
   2. Jika jumlah koefisien genap = jumlah koefisien, pangkat ganjil, maka -1 merupakan akar/penyelesaian dari suku banyak tersebut.
   3. Jika langkah 1 dan 2 tidak terpenuhi, maka coba faktor dari konstantadibagi faktor koefisien pangkat tertinggi.


Ø  Suku banyak berderajat 3 dan 4

·         Berderajat 3

ax3 + bx2 + cx + d = 0

Þ    x1 + x2 + x3 =

Þ    x1x2 + x2x3 + x1x3 =

Þ    x1x2x3 =

·         Berderajat 4

ax4 + bx3 + cx2 + dx1 + e = 0

Þ    x1 + x2 + x3 + x4 =

Þ    x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 =

Þ    x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 =

Þ    x1 x2 x3 x4 =






A.    

1.        Jika f (x) dibagi (x – 2) sisanya 24, sedangkan jika f (x) dibagi dengan (2x – 3) sisanya 20. Jika f (x) dibagi dengan (x – 2) (2x – 3) sisanya adalah …


a.       8x + 8

b.      8x – 8

c.       -8x + 8

d.      -8x – 8

e.       -8x + 6



2.        Sisa pembagian suku banyk (x4 – 4x3 + 3x2 – 2x + 1) oleh (x2 – x – 2) adalah …


a.       -6x + 5

b.      -6x – 5

c.       6x + 5

d.      6x – 5

e.       6x – 6



3.        Suatu suku banyak dibagi (x – 5) sisanya 13, sedangkan jika dibagi dengan (x – 1) sisanya 5. Suku bayank tersebut jika dibagi dengan x2 – 6x + 5 sisanya adalah …


a.       x – 2

b.      x + 2

c.       x – 1

d.      x – 3

e.       x + 3



4.        Diketahui (x + 1) salah satu faktor dari suku banyak f (x) = 2x4 – 2x3 + px2 – x – 2, salah satu faktor yang lain adalah …


a.       x – 2

b.      x + 2

c.       x – 1

d.      x – 3

e.       x + 3



5.        Jika suku banyak P (x) = 2x4 – ax3 – 3x2 – 5x + b dibagi oleh (x2 – 1) memberi sisa 6x + 5, maka a.b = …


a.       -6

b.      -3

c.       1

d.      6

e.       8



6.        Diketahui suku banyak f (x) jika dibagi (x + 1) sisanya 8 dan dibagi (x – 3) sisanya 4. Suku banyak q (x) jika dibagi dengan (x + 1) bersisa -9 dan jika dibagi (x – 3) sisanya 15. Jika h (x) = f(x).q(x), maka sisa pembagian h (x) oleh x2 – 2x – 3 sisanya adalah …


a.       –x + 7

b.      6x – 3

c.       -6x – 21

d.      11x – 13

e.       33x – 39



7.        Suku banyak 6x3 + 13x2 + qx + 12 mempunyai faktor (3x – 1). Faktor linier yang lain adalah …


a.       2x – 1

b.      2x + 3

c.       x – 4

d.      x + 4

e.       x + 2



8.        Suku banyak P (x) = 3x3 – 4x2 – 6x + k habis dibagi (x – 2). Sisa pembagian P (x) oleh x2 + 2x + 2 adalah …


a.       20x + 24

b.      20x – 16

c.       32x + 24

d.      8x + 24

e.       -32x – 16



9.        Jika f (x) = x3 – x2 + 2x – 4, maka nilai f (x) untuk x = -2 adalah …


a.       -25

b.      -20

c.       -10

d.      10

e.       20



10.    Jika 2x10 – 5x6 + 3x2 – 11 dibagi dengan x2 – 1, maka sisanya adalah …


a.       -9

b.      -10

c.       -11

d.      9

e.       10



11.    Fungsi f (x) dibagi (x + 2) sisanya -4, dan dibagi (x – 1) sisanya 5. Jika f (x) tersebut dibagi x2 + x – 2, maka sisanya adalah …


a.       2x + 3

b.      2x – 3

c.       3x + 2

d.      3x – 2

e.       x + 1



12.    Sisa pembagian x4 – 2x3 + x2 – 3x + 4 dibagi (x2 + x + 2) adalah …


a.       x + 3

b.      x + 2

c.       x + 1

d.      x

e.       x – 1



13.    Sisa pembagian 2x3 – x2 – x + p oleh (x + 1) adalah -3, untuk harga p yang memenuhi adalah …


a.       -5

b.      -4

c.       -3

d.      -1

e.       0



14.    Akar-akar persamaan 2x3 – 8x2 – 6x + 1 = 0 adalah x1, x2, dan x3 maka harga x12 – x22 + x32 adalah …


a.       1

b.      8

c.       9

d.      10

e.       22



15.    Persamaan 3x3 + (p+2)x2 – 16x – 12 = 0 mempunyai akar x = 2. Jumlah ketiga akar persamaan itu adalah …


a.       4

b.      3

c.       1

d.      -1 ¾

e.       -4



16.    Tentukan sisa pembagian dari (x3 – 2x2 + 5x – 40) dibagi (x – 2) maka sisanya adalah …


a.       30

b.      20

c.       10

d.      -20

e.       -30



17.    Jika x1, x2 dan x3­ akar persamaan dari x3 – 12x2 – 10x + 16 = 0, maka tentukan x1x2 + x1x3 + x2x3 adalah …


a.       6

b.      -5

c.       -8

d.      10

e.       2

Baca Selengkapnya - teorema sisa

Peluang

Peluang

DEFINISI
Peluang suatu kejadian A sama dengan jumlah terjadinya kejadian A dibagi dengan seluruh yang mungkin.
P(A) = k / n
Dimana
k : jumlah terjadinya kejadian A
n : jumlah seluruh yang mungkin
Jika kita melakukan percobaan, maka himpunan semua hasil disebut Ruang Sampel
Contoh:
1. Percobaan melempar uang logam 3 kali.
    A adalah kejadian muncul tepat dua muka berturut-turut.
    Maka :
    S = {mmm,mmb,mbm,mbb, bmm, bmb, bbm, bbb}
    A = {mmb, bmm}
    n(S) = 2³ = 8
    n(A) = 2
    P(A) = 2/8 = 1/4
2. Percobaan melempar dadu satu kali.
    A adalah kejadian muncul sisi dengan mata dadu genap.
    Maka :
    S = {1,2,3,4,5,6}
    A = {2,4,6}
    n(S) = 6
    n(A) = 3
    P(A) = 3/6 = 1/2
Jika peluang terjadinya A adalah P(A) dan peluang tidak terjadinya A adalah P(A) maka berlaku
            _
P(A) + P(A) = 1
Contoh:
Dari setumpuk kartu Bridge yang terdiri dari 52 kartu diambil 1 kartu. Berapakah peluang kartu yang terambil bukan kartu King?
Jawab:
P (King) = 4/52 = 1/13
P bukan King = 1 - 1/13 = 12/13

Baca Selengkapnya - Peluang

fungsi

fungsi

CARA MENENTUKAN SUATU GRAFIK MEMPUNYAI INVERS/TIDAK

Tarik sembarang garis sejajar sumbu x, bila memotong grafik hanya di satu titik, maka grafik tersebut mempunyai invers. Bila tidak demikian, maka grafik tersebut tidak mempunyai invers

Diketahui f: R ® R
f(x) = 2x - 3

Tentukan f^-1 (x) !

Jawab:

f one one onto
sehingga f mempunyai invers
misalkan y = image dari x
y = f(x)
y = 2x-3 (yang berarti x = f^-1(y))
x = (y+3)/2
f^-1(x) = (x+3)/2

Diketahui f: A ® B
f(x) = (x - 2)/(x - 3)
dengan A = {R - {3}} dan B = {R - {-1}}
(baca: A adalah himpunan bilangan riil kecuali 33)

Tentukan f^-1(x)

Jawab:

y = (x - 2)/(x - 3)
y(x - 3) = x - 2
yx - 3y = x - 2
x(y - 1) = 3y - 2
x = (3y - 2)/(y - 1) ® f^-1(x) = (3x - 2)/(x - 1)

Anggap f : A ® B dan g : B ® C

Didapat fungsi baru (g o f) : A ® C
yang disebut komposisi fungsi dari f dan g

h = g o f
(g o f) (x) = g (f (x))

® yaitu dengan mengerjakan f(x) terlebih dahulu
    ket : image f merupakan domain bagi g.

contoh:

1. f:A ® B; g:B ® C
    (g o f)(a) = g (f(a)) = g(y) = t
    (g o f)(b) = g (f(b)) = g(z) = r
    (g o f)(c) = g (f(c)) = g(y) = t

    

2. f: R ® R ; f(x) = x²
    g: R ® R ; g(x) = x + 3 R=riil

   maka
   (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = (x+3)² = x² + 6x + 9
   (g o f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = x² + 3

   Bila x=2, maka
   (f o g)(2) = f(g(2)) = f(5) = 25
   (g o f)(2) = g(f(2)) = g(4) = 7

3. Diketahui [rumus]
    jika (f o g)(x) = x²
    Tentukan g(x) !
    jawab:
    [rumus]

SIFAT

Bila f : A ® B; g : B ® C ; h : C ® D

maka

(f o g) ¹ (g o f)                 : tidak komutatif
(h o g) o f = h o (g o f)   : asosiatif

Baca Selengkapnya - fungsi

Limit Fungsi

Limit Fungsi

LIMIT FUNGSI

A. Limit Fungsi Aljabar

Pengertian limit fungsi aljabar merupakan pengertian dasar hitung differensial dan hitung integral. Lebih

jelasnya pada contoh berikut ini.

Fungsi f didefinisikan sebagai

2

2

3

2

)

(

2

−

−

−

=

x

x

x

x

f

Jika variabel x diganti dengan 2 maka f (2) =00 , tetapi adakah bilangan yang akan didekati oleh f (x) jika nilai x

mendekati 2?................. oleh karena itu kita akan mempelajari masalah limit.

1. Pengertian limit

a.

L

x

f

Lima

x

=

→

)

(

, jika untuk x yang dekat dengan a (tetapi x≠ a) maka berlaku f (x) dekat dengan L.

a. Limit kiri fungsi, ditulis

L

x

f

Lima

x

=

−

→

)

(

, berarti nilai fungsi f makin dekat dengan a dari sebelah kiri a.

b. Limit kanan fungsi, ditulis

L

x

f

Lim

a

x

=

+

→

)

(

, berarti nilai fungsi f makin dekat dengan a dari sebelah kanan a.

c. Jika

L

x

f

Lim

maka

L

x

f

Lim

x

f

Lim

a

x

a

x

a

x

=

=

=

→

→

→

+

−

)

(

,

)

(

)

(

2. Pengertian limit secara matematis

L

x

f

Lima

x

=

→

)

(

ada artinya

ε

δ

δ

ε

<

−

⇒

<

−

<

∋

∃

>

∀

L

x

f

a

x

)

(

0

0

(lebih lanjut akan dijelaskan di bangku kuliah)

3. Menentukan limit fungsi aljabar

3.1Limit fungsi

a

x

untuk

x

f

x

f

→

→

)

(

:
Dengan cara substitusi langsung. Cara ini dilakukan dengan mensubstitusikan nilai-nilai x = a, ke dalam f (x),
apabila didapat:

a. f (a) = h, berarti

h

x

f

Lima

x

=

→

)

(

b. f (a) =

∞

=

→

)

(

,

0

x

f

Lim

berarti

h

a

x

c. f (a) =

0

)

(

,

0

=

→

x

f

Lim

berarti

h

a

x

d.

00

)

(=

a

f

, maka:

(1) Bentuk f (x) difaktorkan sehingga

00

)

(≠

a

f

kemudian disubstitusikan lagi.

(2) Bentuk f (x) dikalikan dengan sekawan pembilang dan atau penyebut sehingga

00

)

(≠

a

f

kemudian

disubstitusikan lagi.

Baca Selengkapnya - Limit Fungsi

INTEGRAL

INTEGRAL

A. KONSEP TURUNAN
Di Kelas XI, kalian telah mempelajari konsep turunan. Pemahaman tentang konsep turunan ini dapat kalian gunakan untuk memahami konsep integral. Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.



B. INTEGRAL TAK TENTU

Sehingga kalian dapat memandang integral tak tentu sebagai wakil keseluruhan keluarga fungsi (satu antiturunan untuk setiap nilai konstanta c). Pengertian tersebut dapat digunakan untuk membuktikan teorema- teorema berikut yang akan membantu dalam pengerjaan hitung integral.




1. Aturan Integral Substitusi
Aturan integral substitusi seperti yang tertulis di Teorema 5. Aturan ini digunakan untuk memecahkan masalah pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan dengan rumus-rumus dasar yang sudah dipelajari.
2. Aturan Integral Substitusi Trigonometri

Baca Selengkapnya - INTEGRAL

BARISAN DAN DERET

BARISAN DAN DERET

BARISAN DAN DERET

Definisi Barisan :

Barisan adalah daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mempunyai karakteristik atau pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan. 

Contoh :

1,2,3,4,5,6,…,…,…,…,… dst

2,4,6,8,10,12,…,…,…,… dst

Definisi deret :

Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Jika U₁,U₂,U_3,…..Un maka U₁ + U₂ + U₃ +… +Un adalah deret.

Contoh :

1 + 2 + 3 + 4 +… + Un

2 + 4 + 6 + 8 +… + Un

A.    Baris dan Deret Aritmatika

Definisi baris aritmatika :

Jika beda antara suatu suku apa saja dalam suatu barisan dengan suku sebelumnya adalah suatu bilangan tetap b maka barisan ini adalah barisan aritmatika. Bilangan tetap b itu dinamakan beda dari barisan.

Polanya : a, a+b, a+2b, a+3b,…..,a+(n-1)b

Dengan

o   a = U₁= Suku pertama       

o   b = beda

o   n = banyaknya suku

o   U_n = Suku ke-n

 

Suku pertamanya adalah 3 (a=3) dan bedanya adalah 2 (b=2), banyaknya suku ada 5 (n=5), suku ke-5 adalah 11 (U₅ = 11).

Deret aritmatika adalah jumlah dari baris aritmatika.

            Contoh : 3 + 5 + 7 + 9 + 11   

o   Ut = Suku tengah

o   Sn = Jumlah n suku pertama  

Berikut adalah cara untk mengetahui nilai dari beberapa hal yang disebut di atas :

·         Beda

b = U_n – U_n-1

·         Suku ke-n

Un = a + (n-1)b

Un = S_n – S_n-1

·         Jumlah n suku pertama

S_n = ½ n (U₁ + U_n)

S_n = ½ n ( 2a + (n-1)b )

·         Nilai tengah

U_t = ½ (U₁ + U_n)

B.     BARIS DAN DERET GEOMETRI

Definisi barisan geometri :

            Jika rasio antara suku apa saja dalam suatu barisan dengan suku sebelumnya merupakan suatu bilangan tetap r maka barisan tersebut adalah barisan geometri.bilangan tetap r disebut rasio dari barisan.

Contoh :

2,6,18,48….. adalah barisan geometri dengan rasio 3. Artinya adalah nilai pada Un = 3U_n-1.

           

Definisi deret geometri :

Jika U₁,U₂,U_3,…..Un adalah barisan geometri maka jumlah U₁ + U₂ + U₃ +… +Un disebut deret geometri.

Rumus jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah :

            Sn = a( 1- rⁿ ) / 1 – r , jika r < 1 dan

                        Sn = a( rⁿ - 1) / r – 1 , jika r > 1

Baca Selengkapnya - BARISAN DAN DERET